About potential and actual infinity

Das Unendliche stellt sich als das Gegenteil heraus von dem, was die Leute sagen. Es ist nicht das unendlich, was nichts außer sich selbst hat, sondern das, was stets etwas außer sich selbst hat. [Aristoteles, Physik]

Überhaupt existiert das Unendliche nur in dem Sinne, dass immer ein anderes und wieder ein anderes genommen wird, das eben Genommene aber immer ein Endliches, jedoch immer ein Verschiedenes und wieder ein Verschiedenes ist. [Aristoteles, Physik]

Das Kontiuierliche kann ad infinitum geteilt werden, aber es gibt nichts unendliches in der Richtung des Zuwachses. Denn die Größe, die es potentiell annehmen kann, kann es auch aktual annehmen. Und weil keine vernünftige Größe unendlich sein kann, ist es unmöglich, jede bestimmte Größe zu übersteigen. Denn wäre das möglich, so wäre es möglich, dass etwas größer als der Himmel wäre. [Aristoteles, Physik]

Unsere Betrachtung raubt den Mathematikern ihre Wissenschaft nicht, indem die aktuale Existenz des Unendlichen in der Richtung des Zuwachses ausgeschlossen wird. Tatsächlich benötigen und gebrauchen sie es nicht. Sie postulieren nur, dass eine endliche gerade Linie verlängert werden kann, so weit sie wollen. [Aristoteles, Physik]

Das Zeichen oo, welches ich in Nr. 2 dieses Aufsatzes gebraucht habe, ersetze ich von nun an durch omega, weil das Zeichen oo schon vielfach zur Bezeichnung von unbestimmten [d. h. potentiellen] Unendlichkeiten verwandt wird. [G. Cantor, Gesammelte Anhandlungen, p. 195]

Es ist sogar erlaubt, sich die neugeschaffene Zahl omega als Grenze zu denken, welcher die Zahlen nu zustreben, wenn darunter nichts anderes verstanden wird, als daß omega die erste ganze Zahl sein soll, welche auf alle Zahlen nu folgt, d. h. größer zu nennen ist als jede der Zahlen nu. [G. Cantor, Gesammelte Anhandlungen, p. 195]

The set of all integers is infinite (infinitely comprehensive) in a sense which is "actual" (proper) and not "potential". [Fraenkel, Abraham A., Levy, Azriel: Abstract Set Theory (1976) p. 6]

One may doubt whether this example really illustrates the abyss between finiteness and actual infinity. [Fraenkel, Abraham A., Levy, Azriel: Abstract Set Theory (1976) p. 6]

Thus the conquest of actual infinity may be considered an expansion of our scientific horizon no less revolutionary than the Copernican system or than the theory of relativity, or even of quantum and nuclear physics. [Fraenkel, Abraham A., Levy, Azriel: Abstract Set Theory (1976) p. 240]

To look at the universe of all sets not as a fixed entity but as an entity capable of "growing", i.e., we are able to "produce" bigger and bigger sets. [Fraenkel, Abraham A., Bar-Hillel, Yehoshua, Levy, Azriel: Foundations of Set Theory, North Holland, Amsterdam (1984) p. 118]

[Brouwer] maintains that a veritable continuum which is not denumerable can be obtained as a medium of free development; that is to say, besides the points which exist (are ready) on account of their definition by laws, such as e, pi, etc. other points of the continuum are not ready but develop as so-called choice sequences. [Fraenkel, Abraham A., Bar-Hillel, Yehoshua, Levy, Azriel: Foundations of Set Theory, North Holland, Amsterdam (1984) p. 255]

Until then, no one envisioned the possibility that infinities come in different sizes, and moreover, mathematicians had no use for “actual infinity.” The arguments using infinity, including the Differential Calculus of Newton and Leibniz, do not require the use of infinite sets. [Thomas Jech, Set Theory Stanford.htm, Stanford Encyclopedia of Philosophy]

There are at least two different ways of looking at the numbers: as a completed infinity and as an incomplete infinity. [Edward Nelson: Completed versus incomplete infinity in arithmetic, Princeton]

A viable and interesting alternative to regarding the numbers as a completed infinity, one that leads to great simplifications in some areas of mathematics and that has strong connections with problems of computational complexity. [Edward Nelson: Completed versus incomplete infinity in arithmetic, Princeton]

Wenn man die verschiedenen Ansichten, welche sich in bezug auf unsern Gegenstand, das Aktual-Unendliche (im folgenden Kürze halber mit A.-U. bezeichnet), im Laufe der Geschichte geltend gemacht haben, übersichtlich gruppieren will, so bieten sich dazu mehrere Gesichtspunkte dar, von denen ich heute nur einen hervorheben möchte.

Man kann nämlich das A.-U. in drei Hauptbeziehungen in Frage stellen: erstens, sofern es in Deo extramundano aeterno omnipotenti sive natura naturante, wo es das Absolute heißt, zweitens sofern es in concreto seu in natura naturata vorkommt, wo ich es Transfinitum nenne und drittens kann das A.-U. in abstracto in Frage gezogen werden, d. h. sofern es von der menschlichen Erkenntnis in Form von aktual-unendlichen, oder wie ich sie genannt habe, von transfiniten Zahlen oder in der noch allgemeineren Form der transfiniten Ordnungstypen (ariqmoi nohtoi oder eidhtikoi) aufgefaßt werden könne. [G. Cantor, Gesammelte Anhandlungen, p. 372 ]

Daß das sogenannte potentiale oder synkategorematische Unendliche (Indefinitum) zu keiner derartigen Einteilung Veranlassung gibt, hat darin seinen Grund, daß es ausschließlich als Beziehungsbegriff, als Hilfsvorstellung unseres Denkens Bedeutung hat, für sich aber keine Idee bezeichnet; in jener Rolle hat es allerdings durch die von Leibniz und Newton erfundene Differential- und Integralrechnung seinen großen Wert als Erkenntnismittel und Instrument unseres Geistes bewiesen; eine weitergehende Bedeutung kann dasselbe nicht für sich in Anspruch nehmen. [G. Cantor, Gesammelte Anhandlungen, p. 373]

Trotz wesentlicher Verschiedenheit der Begriffe des potentialen und aktualen Unendlichen, indem ersteres eine veränderliche endliche, über alle Grenzen hinaus wachsende Größe, letztere ein in sich festes, konstantes, jedoch jenseits aller endlichen Größen liegendes Quantum bedeutet, tritt doch leider nur zu oft der Fall ein, daß das eine mit dem andern verwechselt wird. [G. Cantor, Gesammelte Anhandlungen, p. 374]

Wundt's Auseinandersetzung zeigt, daß er sich des fundamentalen Unterschieds von Uneigentlichunendlichem = veränderlichem Endlichem = synkategorematice infinitum (apeiron) einerseits und Eigentlichunendlichem = Transfinitum = Vollendetunendlichem = Unendlichseiendem = kategorematice infinitum (ajwrismenon) andrerseits nicht klar und deutlich bewußt ist; sonst würde er nicht jenes ebensowohl wie dieses als Grenze bezeichnen; Grenze ist immer an sich etwas festes, unveränderliches, daher kann von den beiden Unendlichkeitsbegriffen nur das Transfinitum als seiend und unter Umständen und in gewissem Sinne auch als feste Grenze gedacht werden. Daher irrt Wundt auch darin, wenn er glaubt, das Transfinitum habe keine physikalische Bedeutung, wohl aber das potentiale Unendliche; streng genommen ist das Gegenteil hiervon richtig, weil das potentiale Unendliche nur Hilfs- und Beziehungsbegriff ist und stets auf ein zugrunde liegendes Transfinitum hinweist, ohne welches es weder sein noch gedacht werden kann. [G. Cantor, Gesammelte Anhandlungen, p. 391]

Erstens scheint sie meine Arbeiten nicht gelesen zu haben, denn sie nimmt nicht Rücksicht darauf, daß ich in den "Grundlagen" das potentiale Unendliche, welches ich Uneigentlich-unendliches, von dem aktualen Unendlichen, welches ich Eigentlich-unendliches dort nannte, strengstens unterscheide. [G. Cantor, Gesammelte Anhandlungen, p. 392]

Wenn man sich über den Ursprung des weitverbreiteten Vorurteils gegen das aktuale unendliche, des horror infiniti in der Mathematik volle Rechenschaft geben will, so muß man vor allem den Gegensatz scharf ins Auge fassen, der zwischen dem aktualen und dem potentialen Unendlichen besteht. Während das potentiale Unendliche nichts anderes bedeutet als eine unbestimmte, stets endlich bleibende, veränderliche Größe, die Werte anzunehmen hat, welche entweder kleiner werden als jede noch so kleine, oder größer werden als jede noch so große endliche Grenze, bezieht sich das aktuale Unendliche auf ein in sich festes, konstantes Quantum, das größer ist als jede endliche Größe derselben Art. So stellt uns beispielsweise eine veränderliche Größe x, die nacheinander die verschiedenen endlichen ganzen Zahlwerte 1, 2, 3, ..., n, ... anzunehmen hat, ein potentiales Unendliches vor, wogegen die durch ein Gesetz begrifflich durchaus bestimmte Menge (n) aller ganzen endlichen Zahlen n das einfachste Beispiel eines aktual-unendlichen Quantums darbietet.

Die wesentliche Verschiedenheit, welche hiernach zwischen den Begriffen des potentialen und aktualen Unendlichen besteht, hat es merkwürdigerweise nicht verhindert, daß in der Entwicklung der neueren Mathematik mehrfach Verwechslungen beider Ideen vorgekommen sind, derart, daß in Fällen, wo nur ein potentiales Unendliches vorliegt, fälschlich ein Aktual-Unendliches angenommen wird, oder daß umgekehrt Begriffe, welche nur vom Gesichtspunkte des aktualen Unendlichen einen Sinn haben, für ein potentiales Unendliches gehalten werden.

Beide Arten der Verwechselung müssen als Irrtümer betrachtet werden. [G. Cantor, Gesammelte Anhandlungen, p. 409 f]

Man kann aber noch aus einem anderen Gesichtspunkte das Vorkommen des Aktual-Unendlichen und seine Unentbehrlichkeit sowohl in der Analysis, wie auch in der Zahlentheorie und Algebra unwiderleglich dartun. Unterliegt es nämlich keinem Zweifel, daß wir die veränderlichen Größen im Sinne des potentialen Unendlichen nicht missen können, so läßt sich daraus auch die Notwendigkeit des Aktual-Unendlichen folgendermaßen beweisen: damit eine solche veränderliche Größe in einer mathematischen betrachtung verwertbar sei, muß strenggenommen das "Gebiet" ihrer Veränderlichkeit durch eine Definition vorher bekannt sein; dieses "Gebiet" kann aber nicht 411 selbst wieder etwas Veränderliches sein, da sonst jede feste Unterlage der Betrachtung fehlen würde; also ist dieses "Gebiet" eine bestimmte aktual-unendliche Wertmenge.

So setzt jedes potentiale Unendliche, soll es streng mathematisch verwendbar sein, ein Aktual-Unendliches voraus. [G. Cantor, Gesammelte Anhandlungen, p. 410 f]

Meine Begriffserfassung des Transfiniten schliesst eigentlich und ursprünglich den "Process", weil derselbe eine "Veränderung" bedeutet, aus; nach mir ist transfinit = bestimmt, grösser als jedes noch so grosse Endliche derselben Art, trotzdem aber einer Vermehrung noch fähig. Der letzteren Eigenschaft wegen, ist nun allerdings im Gebiete des Transfiniten selbst ein Veränderung denkbar, wie etwa aus der Ordnungszahl omega werden kann omega + 1, daraus omega + 2 u.s.w. Es wären also auch transfinite Processe denkbar, sofern man darunter Processe im Gebiete des Transfiniten versteht. Aber ein eigentlich transfiniter Process scheint nach meiner Auffassung des "Transfiniten" nicht möglich, weil hier die beiden einander ausschließenden Prädicate "bestimmt = constant" und "veränderlich" verbunden wären. [Georg Cantor in a letter to Harnack, Nov. 3,1886]

Will man in Kürze die neue Auffassung des Unendlichen, der Cantor Eingang verschafft hat, charakterisieren, so könnte man wohl sagen: in der Analysis haben wir es nur mit dem Unendlichkleinen und dem Unendlichgroßen als Limesbegriff, als etwas Werdendem, Entstehendem, Erzeugtem, d.h., wie man sagt, mit dem potentiell Unendlichen zu tun. Aber das eigentlich Unendliche selbst ist dies nicht. Dieses haben wir z.B., wenn wir die Gesamtheit der Zahlen 1,2,3,4, ... selbst als eine fertige Einheit betrachten oder die Punkte einer Strecke als eine Gesamtheit von Dingen ansehen, die fertig vorliegt. Diese Art des Unendlichen wird als aktual unendlich bezeichnet. [David Hilbert: Über das Unendliche, Math. Ann. 95 (1925) p. 167]

Es gibt kein aktual Unendliches, das haben die Cantorianer vergessen und haben sich in Widersprüche verwickelt. [Henri Poincaré, Les mathématiques et la logique III, Rev. métaphys. morale 14, p. 316, (1906).]

Mathematische Objekte existieren nicht, sofern sie nicht gedacht werden. Alle mathematischen Begriffe sollen deshalb mit endlich vielen Worten definierbar und alle Behauptungen mit endlich vielen Operationen verifizierbar sein. Was die Menschen „unendlich“ nennen, ist nur die endlose Möglichkeit, neue Objekte zu ‚schaffen’, unabhängig davon, wie viele Objekte bereits bestehen. Die Vorstellung etwa einer aktual existierenden unendlichen Menge ist eine falsche Vorstellung. [Henri Poincaré]

Die endlichen Weltmodelle der gegenwärtigen Naturwissenschaft zeigen deutlich, wie diese Herrschaft des Gedankens einer aktualen Unendlichkeit mit der klassischen (neuzeitlichen) Physik zu Ende gegangen ist. Befremdlich wirkt dem gegenüber die Einbeziehung des Aktual-Unendlichen in die Mathematik, die explizit erst gegen Ende des vorigen Jahrhunderts mit G. Cantor begann. [Paul Lorenzen: Das Aktual-Unendliche in der Mathematik, Philosophia naturalis, Klostermann-Verlag]

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070311