Well-ordering and Continuum-hypothesis

 

In 1882 Cantor coined the expression "wohlgeordnete Menge" // "well-ordered set", and he replaced the usual symbol oo of potential infinity by omega, the last letter of the Greek alphabet (in print 1883).

The expression "Kardinalzahl" //"cardinal number" appears first in 1886 in a letter to Cardinal Franzelin.

The symbol aleph (Cantor wrote alef), the first letter of the Hebrew alphabet,  was introduced by Cantor in 1893.

In his later years Cantor is reported to have denoted the cardinal number aleph_0 by the first transfinite ordinal omega, as is usual today.

 

Ich habe manche Veränderungen in der Darstellung und Bezeichnung vorgenommen, die wohl zum Vortheil des Verständnisses gereichen werden. Unter zweiter Zahlenclasse (II) verstehe ich jetzt die Zahlen von omega an soweit sie zur bisher als zweiter Zahlenclasse bezeichneten gehören, u.s.w.

Den größten Vortheil gewinne ich jetzt durch die Einführung ... der "Anzahl einer  wohlgeordneten Menge".

Unter einer "wohlgeordneten Menge" verstehe ich jede Menge (E) deren Elemente in eine solche Beziehung gesetzt sind, dass

1) ein erstes unter ihnen ist E1.

2) zu jedem Elemente E' - mit Ausnahme des letzten, wenn ein letztes vorhanden ist - ein ihm nächst folgendes E'' vorhanden ist.

3) zu jedem endlichen oder unendlichen Bestandtheile (E') von (E) ein Element E*  vorhanden ist, welches das allen E' nächst folgende ist - mit  Ausnahme des Falles, dass auf alle E' folgende Elemente überhaupt nicht vorhanden sind. -

Ist eine solche Zuordnung der beiden wohlgeordneten Mengen überhaupt möglich, so ist sie es nur auf eine Weise. Die Anzahl einer wohlgeordneten Menge ist also ein Begriff der in Beziehung steht zu ihrer Anordnung; bei endlichen Mengen findet er sich offenbar als unabhängig von der Anordnung; dagegen jede unendliche Menge verschiedene Anzahlen im Allgemeinen hat, wenn man sie auf verschiedene Weise als "wohlgeordnete" Menge denkt.

Die "Anzahl" lässt sich nun immer durch eine bestimmte Zahl meiner erweiterten ganzen Zahlenreihe angeben. Zum Beispiel betrachten wir die Menge aller endlichen positiven ganzen Zahlen, so ist sie in der natürlichen Folge

                                   1, 2, 3, ..., nu...

eine wohlgeordnete Menge und hat in dieser Ordnung gedacht die Anzahl: omega.

Schreibt man sie aber in der Ordnung

                                   (n + 1), (n + 2), ...  (n + nu), ....1, 2, 3, ..., n,

so hat sie nun die Anzahl omega + n.

In der Ordnung

                                   2, 4, 6, ..., 2nu, ..., 1, 3, 5, ..., (2nu + 1), ...

hat dieselbe Menge (nu) die Anzahl 2omega u.s.w. u.s.w.

Jede Menge von der Mächtigkeit erster Classe ist abzählbar durch Zahlen der zweiten Zahlenklasse (II); und zwar läßt sich jede Menge von der Mächtigkeit erster Classe in solche Succession (als wohlgeordnete Menge) bringen, dass ihre Anzahl mit Bezug auf diese Succession gleich wird einer beliebig vorgeschriebenen Zahl alpha der zweiten Zahlenclasse. (Georg Cantor in a letter to  Mittag-Leffler, Dec. 17,1882)

 

"Das Element a_omega ist im Sinne der transfiniten Induktion ... bestimmt ... und jeden ein­zelnen Bestimmungsakt wie deren Reihenfolge parallel der Reihenfolge der Ord­nungszahlen hat man sich gänzlich zeitlos zu denken. Zur Unterstützung dieser zeit­losen Auffassung hat E. Zermelo den glücklichen Gedanken gehabt, von vornherein aus jeder von Null verschiedenen Teilmenge A' von A eins ihrer Elemente a' = f(A') auszuwählen, so daß man also, sozusagen, mit dieser Auswahl nicht wartet, ob und bis die Menge A' einmal an die Reihe kommt, sondern für jede Menge, ob sie daran kommt oder nicht, das aus ihr zu wählende Element prae limine bereit hat. Das System sukzessiver Wahlakte ist damit durch ein, in der Praxis des Denkens natür­lich ebenso unausführbares System simultaner Wahlakte ersetzt" [HAU14, p. 134].

 

"Die großen, heute noch unabsehbar scheinenden Schwierigkeiten, die sich der Wohlord­nung des Kontinuums und der Lösung des Kontinuumproblems entgegen­stellen, haben es nämlich vielen Mathematikern wahrscheinlich gemacht, daß das Kontinu­um und um so mehr allgemeinere Mengen überhaupt nicht wohlordnungs­fähig, die Mächtigkeiten ... also keine Alefs seien" [FRA23, p. 209].

 

1904 hat Ernst Zermelo das umstrittene Auswahlaxiom eingeführt und gestützt darauf bewiesen, daß die Menge |R der reellen Zahlen wohlgeordnet werden kann [ZER04], [ZER08]. Damit können alle Mengen miteinander verglichen werden, denn zwei wohlgeordneten Mengen sind entweder einander ähnlich, oder eine von ihnen ist einem Abschnitt {1, 2, 3, ..., alpha} der anderen ähnlich. Der Beweis ist allerdings kein konstruktiver. Es ist bisher niemandem gelungen, eine Wohlordnung für |R anzuge­ben, und es gibt vermutlich keinen Mathe­matiker, der auch nur einen geringen Betrag darauf wetten würde, daß eine solche Wohlordnung innerhalb seiner Lebens­spanne gefunden werden könnte. Nichtsdesto­weniger behauptet jeder Verfechter des Auswahlaxioms, daß eine solche Wohlord­nung für |R (und auch jede andere Menge) "existiert" und darin jede Teilmenge ein erstes Element a_nu besitzt.

 

Man weiß seit der Erfindung des Forcing (Cohen), daß es keine definierbare Wohlordnung von R geben kann, d.h. daß die Theorie ZF + „R ist nicht wohlordbar“ relativ konsistent zu ZF ist.

 

 

[FRA23] Fraenkel, Adolf: "Einleitung in die Mengenlehre", Springer, Berlin (1923).

[HAU14] Hausdorff, Felix: "Grundzüge der Mengenlehre", Chelsea Publishing Company, New York (1965).

[ZER04] Zermelo, E., "Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann", Math. Ann. 59 (1904) 514 - 516.

[ZER08] Zermelo, E., "Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung", Math. Ann. 65 (1908) 107 - 128.

 

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061113