To quote opinions in favour of set theory and actual infinity would = mean carrying coals to Newcastle, therefore

Quotes, not well ordered although some fit very well together=

Überhaupt exist= iert das Unendliche nur in dem Sinne, daß immer ein anderes und wieder ein And= eres genommen wird, das eben Genommene aber immer ein Endliches, jedoch immer ein Verschiedenes und wieder ein Verschiedenes ist. (Aristoteles)

With the exception of the geometric series, there does not exist in = all of mathematics a single infinite series whose sum has been determined rigorously. (Niels Henrik Abel)

Und ich glaube auch, daß es dereinst gelingen wird [...] (namentlich die Hinzunahme der irrationalen und kontinuierlichen Größen) wieder abzustreifen, welche zumeist durch die Anwendungen auf Geometrie und Mechanik veranla&szl= ig;t worden sind. (Leopold Kronecker)

Some mathematicians object to the Axiom of Infinity on the grounds t= hat a collection of objects produced by an infinite process (such as N) should = not be treated as a finished entity. However, most people with some mathematical training have no difficulty visualizing the collection of natural numbers in that way. (K. Hrbacek, T. Jech)

Man kann unbedingt s= agen: die transfiniten Zahlen stehen oder fallen mit den endlichen Irrationalzahl= en. (Georg Cantor)

Bei der Annahme, da&= szlig; es ein reelles Zahlensystem im klassischen Sinne gibt, handelt es sich ja um eine Vorstellung, für die noch keine hinlängliche mathematische Begründung vorliegt. (Kurt Schütte)

Wenn er [der Angriff= auf das Unendliche] endgültig glückt, so bleibt, abgesehen von engumgrenz= ten unangreifbaren Gebieten (namentlich der Arithmetik im engeren Sinn), von der gegenwärtigen Mathematik nur ein ungeheurer Trümmerhaufen üb= rig, aus dem wohl erst durch die Arbeit von Generationen neue einigermaßen wohnliche (und den alten jedenfalls an Bequemlichkeit nicht gleichkommende) Behausungen aufgebaut werden können. (Adolf Fraenkel)

Wäre König= s Satz, daß alle "endlich definierbaren" reellen Zahlen einen Inbeg= riff von der Mächtigkeit alef-null ausmachen, richtig, so hieße dies,= das ganze Zahlenkontinuum sei abzählbar, was doch sicherlich falsch ist. (Georg Cantor in a letter to Hilbert, August 8, 1906)

Definiert man die re= ellen Zahlen in einem streng formalen System, in dem nur endliche Herleitungen und festgelegte Grundzeichen zugelassen werden, so lassen sich diese reellen Za= hlen gewiß abzählen, weil ja die Formeln und die Herleitungen auf Gru= nd ihrer konstruktiven Erklärungen abzählbar sind. (Kurt Schütt= e)

[...] protestiere ich zuvörderst gegen den Gebrauch einer unendlichen Größe als einer Vollendeten, welcher in der Mathematik niemals erlaubt ist. Das Unendliche ist nur eine Facon de parler, indem man eigentl= ich von Grenzen spricht, denen gewisse Verhältnisse so nahe kommen als man will, während anderen ohne Einschränkung zu wachsen verstattet is= t. // In the first place I protest against the us= e of an infinite magnitude as something completed, which is never permissible in mathematics. The Infinite is merely a facon de parler= , the true meaning being a limit which certain ratios approach as closely as = one wishes, while others are permitted to increase without restriction. (Carl Friedrich Gauss in a letter to Schumacher, July 12, 1831)=

The attitude of the (neo-)intuitionists that there do not exist altogether non-equivalent infinite sets is consistent, though almost suicid= al for mathematics. (A.A. Fraenkel)

There still remains the question whether our axioms enable us to construct cardinals. The answer is in the negative. (A.A. Fraenkel)

Every transfinite consistent multiplicity, that is, every transfinite set, must have a definite aleph as its cardinal number. (Georg Cantor)=

Classical logic was abstracted from the mathematics of finite sets a= nd their subsets [...] Forgetful of this limited origin, one afterwards mistook that logic for something above and prior to all mathematics, and finally applied it, without justification, to the mathematics of infinite sets. Thi= s is the fall and original sin of [Cantor's] set theory. (Hermann Weyl)

I= t is by logic we prove, it is by intuition that we invent. (Henry Poincaré)<= o:p>

Never glad confident morning again. (A.N. Whitehead, 1901, after his co-author Russell had created his paradox)

Russellblessur. (Helmut Kracke)

Set theory is a disease from which mathematics will one day recover. (Henry Poincaré)

Die endlichen ganzen= Zahlen sind nichts anderes als "Zeichen" für verschiedene "Typen" von "endlichen wohlgeordneten Mengen". Die unendlichen ganzen Zahlen der zweiten Zahlenclasse sind "Zeichen" für die verschiedenen "Typen" von "wohlgeordneten Mengen der ersten Mächtigkeit", die unendlichen ganzen Zahlen der dritten Zahlenclasse sind "Zeichen" für die verschiedenen "Typen" von "wohlgeordneten Mengen der zweiten Mächtigkeit" u.s.w. u.s.w. (Georg Cantor in a letter to Mittag-Leffler, Sept. 23, 1883)

In Rücksicht au= f diese Befreiung der Elemente von jedem andern Inhalt (Abstraktion) kann man die Zahlen mit Recht als eine freie Schöpfung des menschlichen Geistes nen= nen. (Richard Dedekind)

So sind die negativen und die gebrochenen Zahlen durch den menschlichen Geist erschaffen. (Richard Dedekind)

Es gibt kein Aktual-Unendliches. Was wir "unendlich" nennen, ist nur die Möglichkeit, unaufhörlich neue Objekte zu schaffen, wie zahlreich auch die schon geschaffenen Objekte seien. // There is no actual infinity. = It is only= the affirmation of the power of the mind which knows it can conceive of the indefinite repetition of the same act, when the act is once possible. (Henri Poincaré)

If one person can see it [Hilbert's paradise] as a paradise for mathematicians, why should not another see it as a joke? (Ludwig Wittgenstein)

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Perhaps we= should hold an interdisciplinary conference on the finite. As Horatio said, “= ;There are fewer things in heaven and earth, Hamlet, than are dreamt of in your philosophy.” (Edward Nelson)

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(i) Infini= te totalities do not exist in any sense of the word (i.e., either really or ideally). More precisely, any mention, or purported mention, of infinite totalities is, literally, meaningless. (ii) Nevertheless, we should continue the business of Mathematics 'as usual', i.e., we should act as if infinite totalities really existed. (Abraham Robinson)

Was hingegen die Anwendungen der transfiniten Z= ahlen in anderen mathematischen Disziplinen anlangt, so haben sich die Hoffnungen, welche man zunächst darauf setzte, nur in wenigen, speziellen Fäl= len erfüllt, und es wird noch [...] ausgeführt werden, daß bestimmte, heutzutage in der abstrakten Algebra und Topologie gebräuchliche Schlußweisen gerade auf einer Elimination der transfiniten Ordinalzahlen beruhen, mit der freilich ein Verlust an Motivat= ion und an Einsicht einhergeht. (Walter Felscher)

[...] als die Mitläufer Bourbakis das Sage= n in der Mathematik hatten mit dem Schlachtruf: Alle Mathematik ist Mengenlehre. [...] Diese Auffassung von der Mathematik beherrschte aber bisher nur eine relativ kurze Episode von einem Jahrhundert in der langen Geschichte der Mathematik. Seit der Antike ist Mathematik immer die Lehre vom Beweisen mathematischer Sätze gewesen. (Detlef Laugwitz)

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The Axiom of Choice is obviously true; the Well Ordering Principle is obviously false; and who can tell about Zorn's Lemma? This is a joke. In the setting = of ordinary set theory, all three of those principles are mathematically equivalent -- i.e., if we assume any one of those principles, we can use it= to prove the other two. However, human intuition does not always follow what is mathematically correct. The Axiom of Choice agrees with the intuition of mo= st mathematicians; the Well Ordering Principle is contrary to the intuition of most mathematicians; and Zorn's Lemma is so complicated that most mathematicians are not able to form any intuitive opinion about it. = (Jerry Bona)

Eine Theorie, die von der vorbehaltlosen Akzept= anz des aktual Unendlichen, also des "vollendeten Unvollendbaren" ausgeht, trägt den Kern des Verderbens in sich, und man darf sich nicht wundern, wenn von Burali-Forti = bis Banach-Tarski reihenweise - euphemistisch als Paradoxa verbrämt - Widersprüche wie faule Pflaumen vom Baum der Erkenntnis herniederprass= eln. (NN)

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Die mathematische Literatur findet sich, wenn m= an darauf acht gibt, stark durchflutet von Ungereimtheiten und Gedankenlosigkeiten, die meist durch das Unendliche verschuldet sind. So we= nn z. B. im Sinne einer einschränkenden Bedingung die Forderung betont wi= rd, daß in der strengen Mathematik nur eine endliche Anzahl von Schlüssen in einem Beweise zulässig sei - als ob es schon irgend jemandem einmal gelungen wäre, unendlich viele Schlüsse auszuführen. (David Hilbert)

Dies sind die ersten transfiniten Zahlen Cantor= s, die Zahlen der zweiten Zahlenklasse, wie sie Cantor nennt. Zu ihnen gelangen wir also einfach durch ein Hinüberzählen über das gewöhnlic= he abzählbare Unendlich. (David Hilbert)

Das Operieren mit dem Unendlichen kann nur durc= h das Endliche gesichert werden. (David Hilbert)

Die Zahlen der zweiten Zahlenklasse wurden von mir schlechthin als Resultat des Hinüberzählens über das abzählbare Unendliche eingeführt. (David Hilbert)

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Ausdrücklich mö= chte ich nochmals bemerken, daß die hier vorgetragene Darstellung des Bewe= ises des Kontinuumsatzes nur die Grundgedanken enthält; zur vollkommenen Durchführung bedarf es außer den Beweisen der zwei Lemmata noch = der Umarbeitung im Sinne der strengen Einhaltung der finiten Einstellung. (David Hil= bert)

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As is ofte= n the case in mathematics, until someone appears with a new viewpoint, insight, o= r counterexample, difficulties in any complex argument may easily go unnoticed. (Joseph Warren Dauben)

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I cannot c= onsider the set of positive integers as given, for the concept of the actual infini= te strikes me as insufficiently natural to consider it by itself. (Luzin in a letter to Kuratowski)

Eine falsche Theorie= ist in jedem Fall inkorrekt, selbst dann, wenn sie durch keinerlei Widerspruch widerlegt werden kann. Genau so, wie ein Verbrechen immer ein Verbrechen bleibt, unabhängig davon, ob irgendein Gericht es als Verbrechen nachweisen kann oder nicht. (Luitzen E. J. Brouwer)

The clarification of the question to what extent, and under what conditions, it is admissible, in the study of infinite sets, to ignore their process of formation, cannot as yet= be regarded as complete. (Andrej N. Kolmogorov:)

Set theory is discredit= ed by paradoxes and as a foundation for mathematics it is far less reliable than = its superstrucuture. It is therefore clear that we cannot regard set theory as = the foundation of mathematics and hope that it will deliver us from the fear of unsoundness of classical mathematics. (Willard V. Quine)

Mathematische Objekte existieren nicht, sofern= sie nicht gedacht werden. Alle mathematischen Begriffe sollen deshalb mit endlich vielen Worten definierbar<= /span> und alle Behauptungen mit endlich vielen Operationen verifizierbar sein. Was die Menschen "unendlich“ nennen, ist nur die endlose Möglichkeit, neue Objekte zu "schaffen", unabhängig davon, wie viele Objekte bereits bestehen. Die Vorstellung etwa einer aktual existierenden unendlichen Menge ist eine falsche Vorstellung. (Henri Poincaré)

Der Grenzprozeß trug den Sieg davon; denn= der Limes ist ein unvermeidlicher Begriff, dessen Wichtigkeit von der Annahme o= der Verwerfung des Unendlichkleinen nicht berührt wird. Hat man ihn aber einmal gefaßt, so sieht man, daß er das Unendlichkleine überflüssig macht. (H. Weyl)

Fabelreich des Überabzählbaren (Paul Lorenzen)

Brei des Kontinuums (H. Weyl)=

Die Infiniten und Infinitesimalen sind Fiktion [...]Sie ermöglichen eine vorteilhafte Sprechweise. Es handelt sich ab= er nicht um willkürliche, sondern um wohlbegründete Fiktionen. Im praktischen Gebrauch kann man sie so verwenden, als ob sie wirklich existierten. (Gottfried Wilhelm Leibniz)

Über die "Existenz" solcher Zahl= en streiten wir nicht, wir betrachten sie als Fiktionen des Geistes nützl= ich für den Kalkül, ähnlich den komplexen Zahlen. (Gottfried= Wilhelm Leibniz)

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They are n= either finite qantities, nor quantities infinitely small, nor yet nothing. May we = not call them the ghosts of departed quantities? (Bishop George Berkeley)

about infinity and eternity and the universe

&nb= sp;

Das Unendliche hat so tief wie keine andere Frage von jeher das Gemüt= der Menschen bewegt; das Unendliche hat wie kaum eine andere Idee auf den Verstand so anregend u= nd fruchtbar gewirkt; das Unendliche ist aber auch wie kaum ein anderer Begriff so der Aufklärung bedürftig. // = The infinite! No other question has ever moved so profoundly the spirit of man; no other idea has so fruitfully stimulated his intellect; ye= t no other concept stands in greater need of clarification than that of infinity= . (David Hilbert)

Von dem Kleinen gibt es kein Allerkleinstes sondern immer noch ein Kleineres. Denn es ist unmöglich daß das Seiende (durch Teilung) aufhört zu sein. Aber auch von dem Großen gibt es immer noch ein Größeres. // There is no smallest among the small and no largest among the large; but always somethi= ng still smaller and something still larger. (Anaxagoras)

Das Universum ist in keiner Richtung beschr&aum= l;nkt. Sonst müßte es irgendwo eine Grenze besitzen. Aber ein Dinge kann keine Grenze besitzen, wenn nicht etwas außerhalb existiert. [...] In allen Dimensionen gleicherma&sz= lig;en, auf dieser oder jener Seite, oben und unten durch das Universum gibt es kein Ende. (Lucretius)

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On to infi= nity! (NBC Evening News, June 12, 1983, when Pioneer 10 crossed the orbit of Nept= un)

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All finite= things reveal infinitude. (Theodore Roethke)

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Infinity c= onverts the possible into the inevitable. (Norman Cousins)

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Infinity i= s where things happen that don't. (NN)

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If a strai= ght line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side le= ss than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, me= et on that side on which the angles are less than two right angles. (Euclid)

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Nature is = an infinite sphere, whose center is everywhere and whose circumference is nowh= ere. (Blaise Pascal)

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But there = can be no movement of infinity and of an infinite body, and therefore no diurnal revolution of that vastest Primum mobile. (Thomas Digges)=

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It is, I s= ay, impossible that I can with any true meaning assert that there existeth such= a surface, boundary or limit, beyond which is neither body, nor empty space, = even though God be there. (Giordano Bruno in "I'infinito universo et mondi")

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There is a= single general space, a single vast immensity which we may freely call Void; in it= are innumerable globes like this = on which we live and grow. This space we declare to be infinite; since neither reason, convenience, possibility, sense-perception nor nature assign to it a limit. In it are an infinity of worlds of the same kind as our own. (Giorda= no Bruno in "I'infinito universo et mondi")

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The One in= finite is perfect; simply and of itself nothing can be greater or better than it. = This is the one Whole everywhere, God, universal nature. Naught but the infinite= can be a perfect image and reflection thereof, for the finite is imperfect. (Giordano Bruno)

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This is the excellence of God magnified and the greatness of his kingdom made manifest;= he is glorified not in one, but in countless suns; not in a single earth, but = in thousands, I say, in an infinity of worlds. (Giordano Bruno)

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Infinities= and indivisibles transcend our finite understanding, the former on account of their magnitud= e, the latter because of their smallness; Imagine what they are when combined. (Galileo Galilei))

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Surely, ra= mbling across the infinity can do no good to no one. (Johannes Kepler)<= /span>

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But if the= matter were evenly disposed throughout an infinite space, it could never convene i= nto one mass; but some of it would convene into one mass and some into another,= so as to make an infinite number of great masses, scattered great distances fr= om one to another throughout all that infinite space. And thus might the sun a= nd fixed stars be formed. (Isaac Newton)

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I am undec= ided whether or not the visible Milky Way is but one of countless others all of which form an entire system. Perhaps the light from these infinitly distant galaxies is so faint that we cannot see them. (Heinrich Lambert)=

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It is fair= ly certain that our space is finite though unbound. Infinite space is simply a scandal to human thought. (Bishop Barnes)

Die Regeln des Endlichen behalten im Unendlichen Geltung. (Gottfried Wilhelm Leibniz in a letter to Varignon, February 2, 1702= )

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A quantity= is the limit of another quantity, when the second can approach the first more clos= ely than any given quantity as small as one can suppose. (Jean d'Alembert)=

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on the reality of the transfinite

In his [Cantor's] own mind, the application of transfinite numbers in physical terms was direct evidence of their very real existence. (Joseph Warren Dauben)

Der dritte Theil bri= ngt die Anwendungen der Mengenlehre auf die Naturwissenschaften: Physik, Chemie, Mineralogie, Botanik, Zoologie, Anthropologie, Biologie, Physiologie, Mediz= in etc. Ist also das, was die Engländer "Natural philosophy" nennen. Dazu kommen aber auch Anwendungen auf die sogenannten "Geisteswissenschaften", die meines Erachtens als Naturwissenschaften aufzufassen si= nd, denn auch der "Geist" gehört mit zur Natur. (Georg Can= tor about application of his set theory in a letter to Hilbert, September, 20, 1912)

Außerdem bin i= ch mit Untersuchungen über die Anwendung der Mengenlehre auf die Naturlehre der Organismen beschäftigt, auf welche sich die bisherigen mechanischen Principien ni= cht anwenden lassen; es gehören dazu Grundlagen und Begriffe, welche von d= er bisherigen Mechanik toto genere verschieden sind. Dazu müssen auch ganz neue mathematische Hülfsmittel geschaffen werden, die aber im Wesentli= chen in dem bisher von mir bearbeiteten Theile der Mengenlehre schon vorhanden u= nd nur noch etwas weiter auszubilden sind. Mit diesen Ideen einer genaueren Ergründung des Wesens alles Organischen beschäftige ich mich schon seit 14 Jahren, sie bilden die eigentliche Veranlassung, weshalb ich das mühsame und wenig Dank verheissende Geschäft der Untersuchung von Punctmengen unternommen und in diesem Zeitraum keinen Augenblick aus den Au= gen verloren habe. Ausserdem interessirt mich rein theoretisch das Wesen des Staates und was dazu gehört, weil ich auch darüber meine Gesichtspuncte habe, die zu mathematischer Formulierung später fü= hren dürfte; das Auffallende, was Sie darin vielleicht finden, verschwindet, wenn Sie erwägen, dass auch der Staat ein organisches Wesen gewisserma= ssen repräsentiert. (Georg Cantor in a letter to Mittag-Leffler, Sept. 22,1884)

Zuletzt wollen wir w= ieder unseres eigentlichen Themas gedenken und über das Unendliche das Fazit aus all= en unseren Überlegungen ziehen: Das Gesamtergebnis ist dann: das Unendlic= he findet sich nirgends realisiert; es ist weder in der Natur vorhanden, noch = als Grundlage in unserem verstandesmäßigen Denken zulässig - ei= ne bemerkenswerte Harmonie zwischen Sein und Denken. (David Hilbert)

Set theory is based on polite lies, things we agree on even though we know they're not true. In some ways, the foundations of mathematics has an = air of unreality. (William P. Thurston= )

potential versus actual infinity

Trotz wesentlicher Verschiedenheit der Begriffe des potentialen und aktualen Unendlichen, indem ersteres eine veränderliche endliche, über alle Grenzen hinaus wachsende Größe, letzteres ein in = sich festes, konstantes, jedoch jenseits aller endlichen Größen liege= ndes Quantum bedeutet, tritt doch leider nur zu oft der Fall ein, daß das = eine mit dem andern verwechselt wird. (Georg Cantor)

Will man in Kürze die neue Auffassung des Unendlichen, der Cantor Eingang verschafft hat, charakterisieren, so könnte man wohl sagen: in der Analysis haben wir es nur mit dem Unendlichkleinen und dem Unendlichgroßen als Limesbegriff, als etwas Werdendem, Entstehendem, Erzeugtem, d.h., wie man sagt, mit dem potentiell Unendlichen zu tun. Aber = das eigentlich Unendliche selbst ist dies nicht. Dieses haben wir z. B., wenn w= ir die Gesamtheit der Zahlen 1,2,3,4, ... selbst als eine fertige Einheit betrachten oder die Punkte einer Strecke als eine Gesamtheit von Dingen ansehen, die fertig vorliegt. Diese Art des Unendlichen wird als aktual unendlich bezeichnet." (David Hilbert, 1926)

Eine Folge von Zahlen, die über jede bereits erreichte Grenze hinauswächst,[...] ist nichts weiter als ein Tor zur Unendlichkeit, das mannigfaltige Möglichkei= ten eröffnet. Diese Folge bleib= t aber immer im Status ihrer Schöpfung, und sie ist keine geschlossenes Gebilde von Dingen, die bereits bestehen. Daß wir blind das eine mit = dem anderen gleichgesetzt haben, dies ist die wahre Quelle all unserer Schwierigkeiten, einschließlich der Antinomien. (Hermann Weyl)

A construction does not= exist until it is made; when something new is made, it is something new and not a selection from a pre-existing collection. (Edward Nelson)=

There is no actual infi= nity. The Cantorians have forgotten that and have fallen into contradictions. (Henry Poincaré)

about formalism

Die Mathematik ist w= ie die Dialektik ein Organ des höheren Sinns. In der Ausübung ist sie ei= ne Kunst wie die Beredsamkeit. Für beide hat nichts Wert als die Form; der Gehalt ist ihnen gleichgültig. (Johann Wolfgang von Goethe)

The formalists are like a watchmaker who is so absorbed in making his watches look pretty that he has forgotten their purpose of telling the time= , and has therefore omitted to insert any works. (Bertrand Russell)

Mathematik kann nie durch Logik allein begr&uum= l;ndet werden. Als Vorbedingung zur Anwendung logischer Schlüsse ist uns bere= its immer etwas gegeben: gewisse außerlogische konkrete Objekte, die anschaulich als unmittelbares Erlebnis vor dem Denken da sind. (David Hilbert)

Der Lebensnerv der mathematischen Wissenschaft = ist bedroht durch die Behauptung, Mathematik sei nichts anderes als ein System = von Schlüssen aus Definitionen und Annahmen, die zwar in sich widerspruchs= frei sein müssen, sonst aber von der Willkür des Mathematikers geschaf= fen werden. Wäre das wahr, dann würde die Mathematik keinen intellige= nten Menschen anziehen. Sie wäre eine Spielerei mit Definitionen, Regeln und Syllogismen ohne Ziele und Sinn. Die Vorstellung, daß der Verstand sinnvolle Systeme von Postulaten frei erschaffen könne, ist eine trügerische Halbwahrheit. (R. Courant, H. Robbins)

Sollte dann aber immer noch ein Störenfried nachfragen, was es denn mit dieser Existenz Genaueres auf sich habe, so kann man allemal auf einen rein syntaktischen, formalen Standpunkt retirieren. (Walter Felscher)

Aber ist denn das eine Wissenschaft, die Sätze beweist, ohne zu wissen, was sie beweist? (G. Frege)

Don't you see that the = whole aim of Newspeak is to narrow the range of thought? In the end we shall make thoughtcrime literally impossible, because there will be no words in which = to express it. (George Orwell in "1984")

Logic, therefore, remai= ns barren unless fertilised by intuition. (Henry Poincaré)

Die ganzen Zahlen und das Rechnen mit ihnen ist intuitiv begründet. Rein logisches Schließen liefert= nicht notwendig mathematische Wahrheiten. Insbesondere ist es zum Beweis eines mathematischen Satzes nicht hinreichend, daß das Negat als widerspruchsvoll erwiesen wird. (Leopold Kronecker)

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No one outs= ide of a logic-book ever wishes to say "x is x". (Bertrand Russell)=

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Indeed, I = think that there is a real need, in formalism and elsewhere, to link our understanding of mathematics with our understanding of the physical world. = (Abraham Robinson)

about mathematics

So kann also die Mathematik definie= rt werden als diejenige Wissenschaft, in der wir niemals das kennen, worü= ber wir sprechen, und niemals wissen, ob das, was wir sagen, wahr ist. <= span lang=3DEN-GB style=3D'font-family:Arial;color:black;mso-ansi-language:EN-GB= '>(Bertrand Russell)

Having con= structed an elephant upon which the mathematical world could rest, I found the eleph= ant tottering, and proceeded to construct a tortoise to keep the elephant from falling. But the tortoise was no more secure than the elephant, and after s= ome twenty years of very arduous toil, I came to the conclusion that there was nothing that I could do in the way of making mathematical knowledge indubitable. (Bertrand Russell)

Die Mathematik ist nicht an die Regeln der Logik gebunden. Mathematik zu verstehen, erfordert nicht die Kenntnis formaler Beweise. Die aufgetretenen Paradoxien sind kennzeichnend für einen Def= ekt der Logik, nicht aber für einen Defekt der Mathematik. (Luitzen E. J. Brouwer)

Die meisten der besten Ergebnisse des Denkens e= ines angewandten Mathematikers müssen verworfen werden, kaum daß sie entstanden sind, aus dem einfachen aber grausamen Grund, weil sie den Tatsa= chen widersprechen. (Godfrey H. Hardy)

Wie ist es möglich, daß die Mathemat= ik, letztlich doch ein Produkt menschlichen Denkens unabhängig von der Erfahrung, den wirklichen Gegebenheiten so wunderbar entspricht?

(Albert Einstein)

Es kann nicht geleugnet werden, daß ein großer Teil der elementaren Mathematik von erheblichem praktischen Nu= tzen ist. Diese Teile der Mathematik sind, insgesamt betrachtet, ziemlich langweilig. Dies sind genau diejenigen Teile, die den geringsten ästhetischen Wert haben. Die "echte" Mathematik der "echten" Mathematiker, die Mathematik von Fermat, Euler, Gau&szli= g;, Abel und Riiemann ist fast völlig "nutzlos". (Godfrey H. Hardy)

Die Gesetze der Logik werden unkritisch von endlichen Systemen auf unendliche ausgedehnt. Dort aber ist das "Tertium non datur&quo= t; falsch. Mathematik ist eine menschliche Aktivität, die im Bewußtsein entspringt und nur dort stattfindet. Mathematik hat keine Existenz außerhalb des Bewußtseins; deshalb ist sie unabhängig von der äußer= en Welt. (Luitzen E. J. Brouwer)

Zur Auffassung des Grundgedankens der Lehre des Transfiniten bedarf es keiner gelehrten Vorbildung in der neueren Mathemati= k; dieselbe kann dazu unter Umständen selbst hinderlich sein. (Georg Cant= or in a letter to Schmid, April 4, 1887)

Vermuthlich werde ich in einigen Semestern die mathematischen Vorlesungen hier ganz aufgeben, weil mir der Unterricht in d= en für das Lehrfach nothwendigen Vorlesungen, wie Differential und Integralrechnun= g, anal. Geometrie und Mechanik etc. auf die Dauer nicht mehr zusagt; ich werde statt dessen philosophische Vorlesungen halten. (Georg Cantor in a lett= er to Mittag-Leffler, Oct. 20,1884)

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We are less certain than ever about the ultimate foundations of (logic and) mathematics= . (Hermann Weyl)

Die Reihe der natürlichen Zahlen und die i= n ihr liegende Anschauung der Iteration ist ein letztes Fundament des mathematisc= hen Denkens. (Hermann Weyl)

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Mathematic= s does not require 'Axioms'. The job of a pure mathematician is not to build some elaborate castle in the sky, and to proclaim that it stands up on the stren= gth of some arbitrarily chosen assumptions. The job is to inve= stigate the mathematical reality of the world in which we live. For this, no assumptions are necessary. Careful observation is necessary, clear definiti= ons are necessary, and correct use of language and logic are necessary. But at = no point does one need to start invoking the existence of objects or procedures that we cannot see, specify, or implement. (Norman J. Wildberger)

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Since most= of its "prime factors" are almost surely so huge as to be inexpressible, which means they don't exist. (Nor= man J. Wildberger)

Zu Beginn dieses Jahrhunderts wurde ein selbstzerstörerisches demokratisches Prinzip in die Mathematik eingeführt (vor allem durch Hilbert), nach dem alle Axiomensysteme das gleiche Recht auf Analyse haben und der Wert einer mathematischen Leistung = nicht durch seine Bedeutung und seinen Nutzen für andere Disziplinen bestimmt wird, sondern allein durch seine Schwierigkeit, wie beim Bergsteigen. Dieses Prinzip führte schnell dazu, daß die Mathematiker mit der Physik brachen und sich von allen anderen Wissenschaften abschotteten. In den Augen aller normalen Leute verwandelten sie sich in eine obskure priesterliche Kaste... Merkwürdige Fragen wie Fermats Problem oder Summen von Primza= hlen wurden zu angeblich zentralen Problemen der Mathematik erhoben. (Vladimir = Igorewitsch Arnold)

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The true method of foreseeing the future of mathematics is to study= its history and its actual state. (Henry Poincaré)

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The method of "postulating" what we want has many advantages; they are the same= as the advantages of theft over honest toil. Let us leave them to others and proceed with our honest toil. (Ber= trand Russell)

Ich sehe die ganze Arithmetik als eine notwendi= ge oder wenigstens natürliche Folge des einfachsten arithmetischen Aktes,= des Zählens, an, und das Zählen selbst ist nichts anderes als die sukzessive Schöpfung der unendlichen Reihe der positiven ganzen Zahlen= , in welcher jedes Individuum durch das unmittelbar vorhergehende definiert wird; der einfachste Akt ist der Übergang von einem schon erschaffenen Individuum zu dem darauffolgenden neu zu erschaffenden. [..........] So wie= die negativen und gebrochenen rationalen Zahlen durch eine freie Schöpfung hergestellt [...] werden. [..........] Jedesmal nun, wenn ein Schnitt (A1,A2) vorliegt, welcher nicht durch eine rationale Zahl hervorgebracht wird, so erschaffen wir eine neue, eine irrationale Zahl. (Richard Dedekind)

Ein guter mathematischer Scherz ist immer besse= r als ein ganzes Dutzend mittelmäßiger gelehrter Abhandlungen. (John E. Littlewood)

Scherzhafte Beispiele haben manchmal größere Bedeutung als ernste. (Michael Stifel)=

Die Mathematik ist mehr ein Tun als eine Lehre. (Luitzen E. J. Brouwer)

Man kann beim Studium der Wahrheit drei Hauptzi= ele haben: einmal, sie zu entdecken, wenn man sie sucht; dann: sie zu beweisen,= wenn man sie besitzt; und zum letzten: sie vom Falschen zu unterscheiden, wenn m= an sie prüft. (Blaise Pascal)

In jeder reinen Naturlehre ist nur soviel an eigentlicher Wissenschaft enthalten, als Mathematik in ihr angewandt werden kann. (I. Kant)

Wer die erhabene Weisheit der Mathematik tadelt, nährt sich von Verwirrung. (Leonardo da Vinci)

Ich glaube, daß es, im strengsten Verstan= d, für den Menschen nur eine einzige Wissenschaft gibt, und diese ist rei= ne Mathematik. Hierzu bedürfen wir nichts weiter als unseren Geist. (Georg Christoph Lichtenberg)

Insofern sich die Sätze der Mathematik auf= die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit. (Albert Einstein) =

Das einzige Mittel, unsere Schlußfolgerun= gen zu verbessern, ist, sie ebenso anschaulich zu machen, wie es die der Mathemati= ker sind, derart, daß man seinen Irrtum mit den Augen findet und, wenn es Streitigkeiten unter Leuten gibt, man nur zu sagen braucht: "Rechnen wir!" ohne eine weitere Förmlichkeit, um zu sehen, wer recht hat.= (G. W. Leibniz)

Alle Pädagogen sind sich darin einig: man muß vor allem tüchtig Mathematik treiben, weil ihre Kenntnis fürs Leben größten direkten Nutzen gewährt. (Felix Kle= in)

Wir Mathematiker und Physiker dürfen das s= tolze Bewußtsein hegen, daß wir ein Wissensgebiet unser eigen nennen, welches der Menschheit fortschreitend immer neuen äußeren Erfolg= und innere Einsicht bietet, und diese Freude an unserem Besitz, die müssen= wir und wollen wir, wenn sie uns je verloren gegangen sein sollte, wiedergewinn= en! (Felix Kle= in)

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mathematics and theology, God, belief

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Set theory= can be viewed as a form of exact theology. (Rudy Rucker)

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Must we be= lieve in set theory? (George Boolos)

Ein Beweis geht vom Gottesbegriff aus und schließt zunächst aus der höchsten Vollkommenheit Gottes We= sens auf die Möglichkeit der Schöpfung eines Transfinitum ordinatum, sodann aus seiner Allgüte und Herrlichkeit auf die Notwendigkeit der tatsächlich erfolgten Schöpfung eines Transfinitum. (Georg Can= tor)

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A built-in self-referentiality and the forceful extension of the domain of mathematical intuition (principles for building up new sets) add to this impression of combined artistic violence and self-restraint. Cantor himself would have furiously opposed this view. For him, the discovery of the hierarchy of infinities was a revelation of God-inspired Truth. (Yu. I. Manin)

Können wir uns dem Göttlichen auf kei= nem anderen Wege als durch Symbole nähern, so werden wir uns am passendsten der mathematischen Symbole bedienen, denn diese besitzen unzerstörbare Gewißheit. Das Wissen vom Göttlichen ist für einen mathemat= isch ganz Ungebildeten unerreichbar. (Nikolaus von Cues)

Ich darf nicht vermeinen, ich erfaßte das Unendliche nicht durch eine wahrhafte Idee, sondern nur durch die Verneinung des Endlichen.[...] Denn ganz im Gegenteil sehe ich offenbar ein, daß mehr Realität in der unendlichen Substanz als in der endlichen enthalt= en ist und daß demnach der Begriff des Unendlichen dem des Endlichen, d.= h. der Gottes dem meiner selbst, in gewisser Weise vorangeht. Wie sollte ich es sonst auch verstehen, daß ich zweifle, daß ich etwas wünsc= he, d. h. daß mir etwas mangelt und ich nicht ganz vollkommen bin, wenn g= ar keine Idee eines vollkommeneren Wesens in mir wäre, durch dessen Vergleichung ich meine Mangelhaftigkeit erkenne? (René Descartes)

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht; a= lles andere ist Menschenwerk. // God made the integers, everything else is human creation. (Leopold Kronecker)

Cantor ist wohl der letzte große Vertrete= r der Newtonschen Geisteshaltung in Sachen Religion. (H. Meschkowski, W. Nilson)<= o:p>

Die mathematische Kraft ist die ordnende Kraft.= Der Begriff der Mathematik ist der Begriff der Wissenschaft überhaupt. Alle Wissenschaften sollen daher Mathematik werden. Das höchste Leben ist Mathematik. Das Leben der Götter ist Mathematik. Reine Mathematik ist Religion. Wer ein mathematisches Buch nicht mit Andacht ergreift und es wie Gottes Wort liest, der versteht es nicht. Alle göttlichen Gesandten müssen Mathematiker sein. (Novalis)

Gott ist ein Kind, und als er zu spielen begann, trieb er Mathematik. Sie ist die göttlichste Spielerei unter den Mensc= hen. (V. Erath)

Da ich nun aber auch keine Stütze von früheren, wissenschaftlichen Autoritäten für meine Ansichten habe finden können, so weit ich auch in die beiden letzten Jahrhundert= e, in das Mittelalter und selbst in das griechische Altertum mich zurückversetze, war es mir, so sonderbar es Ihnen vielleicht vorkommen wird, eine gewisse Befriedigung in Exodus, cap. XV, v. 18 wenigstens eine A= rt von Anklang an die transfiniten Zahlen zu finden, indem es dort heisst: Dom= inus regnabit in infinitum (aeternum) et ultra. Ich meine dieses "et ultra&= quot; ist eine Andeutung dafür, dass es mit dem omega nicht sein Bewenden ha= t, sondern dass es auch darüber hinaus noch etwas giebt. (Georg Can= tor in a letter to Lipschitz, Nov. 19. 1883)

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I don't kn= ow what predominates in Cantor's theory - philosophy or theology, but I am sure that there is no mathematics there. (Le= opold Kronecker)

Wer meint, daß das Unendliche Gottes Kenn= tnisse übersteige, muß auch die Gotteslästerung begehen, zu behaup= ten, daß Gott nicht alle Zahlen kenne. (Augustinus)

I have no direct contact with God. (Brouwer)

Gott existiert, weil die Mathematik widerspruch= sfrei ist, und der Teufel existiert, weil wir das nicht beweisen können. (An= dre Weil)

Der Glaube an die transzendente Existenz einer mathematischen "Wahrheit" wird durch nichts gestützt und muß als mathematisches Beweismittel zurückgewiesen werden. (Arend Heyting)

Es ist fast mit der Mathematik wie = mit der Theologie. So wie die letzteren Beflissenen, zumal wenn sie in Ämt= ern stehen, Anspruch auf einen besonderen Kredit von Heiligkeit und eine nähere Verwandtschaft mit Gott machen, obgleich sehr viele darunter wa= hre Taugenichtse sind, so verlangt sehr oft der so genannte Mathematiker fü= ;r einen tiefen Denker gehalten zu werden, ob es gleich darunter die größten Plunderköpfe gibt, die man finden kann, untauglich = zu irgend einem Geschäft, das Nachdenken erfordert, wenn es nicht unmitte= lbar durch jene leichte Verbindung von Zeichen geschehen kann, die mehr das Werk= der Routine, als des Denkens sind. (Georg Christoph Lichtenberg)

Die sogenannten Mathematiker von Profession hab= en sich, auf die Unmündigkeit der übrigen Menschen gestützt, ei= nen Kredit von Tiefsinn erworben, der viel Ähnlichkeit mit dem von Heiligk= eit hat, den die Theologen für sich haben. (Ge= org Christoph Lichtenberg)

Der zweite Gödelsche Unvollständigkeitssa= tz besagt, daß die Widerspruchsfreiheit der Mathematik nicht mathematisch bewiesen werden kann. Wir können also niemals ausschließen, daß es zwei sich widersprechende mathematische Aussagen gibt, die bei= de mathematisch korrekt bewiesen werden können. (Wir glauben fest und unerschütterlich daran, daß es zwei derartige Aussagen nicht gib= t.) (Peter Koepke)

Das ist ein Mittel, das Paradies nicht zu verfe= hlen: auf der einen Seite einen Mathematiker, auf der anderen einen Jesuiten; mit dieser Begleitung muß man seinen Weg machen, oder man macht ihn niema= ls. (Friedrich= II. von Preußen)

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Abraham Ro= binson is a representative of an as-if position, according to which it is fruitful= to behave as if there were mathematical objects, and in this way you achieve success by a false picture. This requires a special art of pretending well.= But such pretending can never reach the same degree of imagination as one who believes objectivism to be true. The success in the application of a belief= in the existence of something is the usual and most effective way of proving existence. (Kurt Gödel)

don't miss any opportunity to ma= ke math more entertaining

Die Mathematik als Fachgebiet ist so ernst, da&= szlig; man keine Gelegenheit versäumen sollte, dieses Fachgebiet unterhaltsam= er zu gestalten. // Mathematics is so serious that one should not miss any opportunity to make it more entertaining. (Blaise Pascal)=

Er ist ein Mathematiker und also hartnäcki= g. (Johann Wolfgang von Goethe)

Mit Mathematikern ist kein heiteres Verhäl= tnis zu gewinnen. (Johann Wolfgang von Goethe)

Die Mathematiker sind eine Art Franzosen: redet= man zu ihnen, so übersetzen sie es in ihre Sprache, und dann ist es alsoba= ld ganz etwas anderes. (Johann Wolfgang von Goethe)

Ich hörte mich anklagen, als sei ich ein Widersacher, ein Feind der Mathematik überhaupt, die doch niemand höher schätzen kann als ich, da sie gerade das leistet, was mir zu bewirken völlig versagt worden. (Johann Wolfgang von Goethe)

Die Mathematik ist eine gar herrlic= he Wissenschaft, aber die Mathematiker taugen oft den Henker nicht. (Georg Christoph Lichtenberg)

Es ist unglaublich, wie unwissend d= ie studirende Jugend auf Universitäten kommt, wenn ich nur 10 Minuten rec= hne oder geometrisire, so schläft 1/4 derselben sanfft ein. (Georg Christo= ph Lichtenberg)

Die Mathematiker, die nur Mathematiker sind, de= nken also richtig, aber nur unter der Voraussetzung, daß man ihnen alle Di= nge durch Definitionen und Prinzipien erklärt; sonst sind sie beschrä= nkt und unerträglich, denn sie denken nur dann richtig, wenn es um sehr kl= are Prinzipien geht. (Blaise Pascal)

Die Furcht vor der Mathematik steht= der Angst erheblich näher als der Ehrfurcht. (Felix Auerbach) <= /span>

Die Mehrheit bringt der Mathematik Gefühle entgegen, wie sie nach Aristoteles durch die Tragödie gew= eckt werden sollen, nämlich Mitleid und Furcht. Mitleid mit denen, die sich= mit der Mathematik plagen müssen, und Furcht: daß man selbst einmal = in diese gefährliche Lage geraten könne. (Paul Epstein)

Von allen, die bis jetzt nach Wahrheit forschte= n, haben die Mathematiker allein eine Anzahl Beweise finden können, woraus folgt, daß ihr Gegenstand der allerleichteste gewesen sein müsse. (Rene Descartes)

mathematicians about mathematicians

Der einzige Ort im Universum, in dem ein Vakuum existiert, ist im Kopf von Pascal. (Rene Descartes)

And now it= is that in just this abominable mummy, as Kant is, Monsieur Poincaré felt qu= ite enarmoured, if he is not bewitched by him. So I understand quite well the opposition of Mons. Poincaré, by which I felt myself honoured, so he never had in his mind to honour me, as I am sure. If he perhaps expect, tha= t I will answer him for defending myself, he is certainly in great a mistake. <= /span>(Georg Cantor in a letter to Russell, Sept. 19,= 1911)

Wie bisher rühre ich keinen Finge zu meiner Vertheidigung wider die seit Jahren fortgesetzten boshaften Angriffe Poincaré's. Die letzte Attaque desselben hat meine Augen nur noch sehender gemacht in Bezug auf die Dürftigkeit, Oberflächlichkeit,= das Schaumschlagen, die zu Grunde liegende gemeine Gesinnung dieses Gelichters,= das sich einbildet, an der Spitze der Wissenschaft zu stehen und ihr Vorschrift= en machen zu können, wie sie sich in Zukunft zu gestalten habe. (Georg Ca= ntor in a letter to Hilbert, June 24, 1908)

Ich glaube mein Möglichstes gethan zu habe= n, um Sie von Ihren traurigen Irrthümern abzubringen. Es ist mir nicht gelun= gen und ich kann nur wünschen, daß spätere reiflichere Überlegung Sie zur Rückkehr in vernunftmäßige Bahnen bewegen wird. Denn ich zweifle nicht dran, daß bei Ihnen die Liebe zur Wahrheit grösser sein wird, als der unglückliche Hang zur Rechthaberei und zum Streite, dem sich unsere Zeit sonst so gern und allgem= ein hingiebt. (Georg Cantor in a letter to Kerry, March 8, 1887)

Kronecker, der mich Anfang des Juli besuchte, erklärte mir mit dem freundschaftlichsten Lächeln, dass er mit Hermite über meine letzte Arbeit viel correspondirt habe, um ihm zu demonstriren, dass das Ganze nur "Humbug" sei. ...Von den überendlichen Zahlen sagte er zu meinem Amusement "er hoffte erst= im Himmel es soweit zu bringen, um dieselben verstehen zu können". (Georg Cantor in a letter to Mittag-Leffler, Sept. 9, 1883)<= /span>

Ich beurtheile ihn [Kronecker] nicht so streng = wie Sie, er denkt sich nichts Arges, nur ist er bisweilen in Selbsttäuschu= ngen befangen. Ich habe einmal vor einigen Jahren eine offene Auseinandersetzung= mit ihm gehabt und muss sagen, dass die Art, wie er dieselbe aufgenommen, mir schliesslich einen sehr guten Eindruck hinterlassen hat. (Richard Dedekind = in a letter to Cantor, Dec.17, 1882)

Das kann ich aber wohl sagen, dass mir Einiges = sehr wohl gefällt, wie ich denn überhaupt vor dem feinsinnigen und durchdenkenden Mathematiker Kronecker die allergrößte Hochachtung habe. (Richard Dedekind in a letter to Cantor, Dec.17, 1882)

Ich vermuthe dass der Ton in dieser Affäre= von Berlin und Göttingen ausgegangen, und dass die guten Franzosen hierbei= nur aus Courtoisie einstimmen. Daran dürfte selbst Weierstrass nicht unsch= uldig sein, auch ihm passt es nicht, dass Sie sich mir in Freundschaft angeschlos= sen haben. (Georg Cantor in a letter to Mittag-Leffler, Sept. 9,1884)

Ich habe alle Ursache anzunehmen, dass W[eierst= rass] mit meinen Untersuchungen nicht sympathisiert. (Georg Cantor in a letter to Mittag-Leffler, Sept. 17,1884)

Die sechsstündige Unterhaltung [...] hat k= einen einzigen neuen Gedanken seinerseits zu Tage gefördert, und was er gegen meine transfiniten Zahlen vorbringt ist nichts andres, als was vor zweitaus= end Jahren von der griechischen Skepsis viel geistreicher gegen das Actual-Unendliche gesagt worden ist. [...] Was das persönliche Verhältnis zu Kronecker anbetrifft, so ist und bleibt es ein vortreffliches, nachdem [...] er in liebenswürdigster Weise die von mir dargebotene Hand acceptirt hat. (Georg Cantor in a letter to Mittag-Leffler, Oct. 9, 1884)

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Already du= ring Cantor's life time, the reception of his ideas was more like that of new tr= ends in the art, such as impressionism or atonality, than that of new scientific theories. It was highly emotionally charged and ranged from total dismissal (Kronecker's "corrupter of youth") to highest praise (Hilbert's defense of "Cantor's Paradise"). (Notice however the commonly overlooked nuances of both statements which subtly undermine their ardor: Kronecker implicitly likens Cantor to Socrates, whereas Hilbert with faint mockery hints at Cantor's conviction that Set Theory is inspired by God.) <= /span>(Yu. I. Manin)

Cantor kann nicht an einer offenen Diskussion über diesen Gegenstand [den Unendlichkeitsbegriff] interessiert sein - seine "im Verlauf zwanzigjähriger Forschung ... wider Willen" gewachsene Auffassung ist unverrückbar: sie allein ist gültig! Der stolze Satz Cantors in den "Grundlagen": "... ich glaube daher auch nicht, daß Gründe sich dagegen werden geltend machen lassen, denen ich nicht zu begegnen wüßte" zeigt seine Basis für die Auseinandersetzung und klärt so von vornherein die Positionen: Cantor = geht es um Überzeugung seines Gegenüber. (H. Meschkowski, W. Nilson)

Dem "heute in der Mathematik zu unbedingter Herrschafft gelangten Gedankenkomplex, der vor allem an die Namen Dedekind = und Cantor anknüpft", wird eine Absage erteilt. (Hermann Weyl)

Brouwer öffnete uns die Augen und machte u= ns sehen, wie weit die klassische Mathematik - untermauert vom Glauben an das Absolute, das weit über die Möglichkeiten menschlicher Konstrukti= on hinausgeht - wie weit also die klassische Mathematik die Reichweite der wirklichen Bedeutung und Wahrheit hinter sich läß= t, einer Wahrheit, die auf E= videnz gegründet ist. (Herma= nn Weyl)

Was Weyl und Brouwer tun, kommt im Prinzip dara= uf hinaus, daß sie die einstigen Pfade von Kronecker wandeln: sie suchen= die Mathematik dadurch zu begründen, daß sie alles ihnen unbequem Erscheinende über Bord werfen und eine Verbotsdiktatur à la Kronecker errichten. Dies heißt aber, unsere Wissenschaft zu zerstückeln und verstümmeln, und wir laufen Gefahr, einen großen Teil unserer wertvollsten Schätze zu verlieren, wenn wir solchen Reformatoren folgen. Weyl und Brouwer verfemen die allgemeinen Begr= iffe der Irrationalzahl, der Funktion, ja schon der zahlentheoretischen Funktion, die Cantorschen Zahlen höherer Zahlklassen usw.; der Satz, daß es unter unendlich vielen Zahlen stets eine kleinste gibt, und sogar das logis= che "Tertium non datur" z. B. in der Behauptung: entweder gibt es nur eine endliche Anzahl von Primzahlen, oder unendlich viele, sind Beispiel verbotener Sätze und Schlußweisen. Ich glaube, daß, so wen= ig es Kronecker damals gelang, die Irrationalzahlen abzuschaffen - Weyl und Brouwer gestatten übrigens noch die Konservierung eines Torso -, ebensowenig werden Weyl und Brouwer heute durchdringen; nein: Brouwer ist nicht, wie Weyl meint, die Revolution, sondern nur die Wiederholung eines P= utschversuches mit alten Mitteln, der seinerzeit, viel schneidiger unternommen, doch gänzlich mißlang und jetzt zumal, wo die Staatsmacht durch Frege, Dedekind und

Cantor so wohlgerüstet und befestigt ist, = von vornherein zur Erfolglosigkeit verurteilt ist. (David Hilbert)

infinity and poetry

O Ewigkeit, o Ewigkeit!

Wie lang bist du, o Ewigkeit!=

Es trüge wohl ein Vögelein=

Weg aller Berge Sand und Stein,

Wenn's nur käm' alle tausend Jahr:

Du Ewigkeit bleibst immerdar.=

[...]

O Ewigkeit, o Ewigkeit!

Wie lang bist du, o Ewigkeit!=

Du bist ein Ring unendlich weit,

Dein Mittelpunkt heißt Allezeit,

Niemals der weite Umkreis dein,

Weil deiner nie ein End wird sein.

(Daniel Wülffer)

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Even as th= e finite encloses an infinite series

And in the unlimited limits appear,

So the sou= l of immensity dwells in minutia

And in nar= rowest limits no limits in here.

What joy to discern the minute in infinity!

The vast to perceive in the small, what divinity!

(Jakob Ber= noulli)

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As lines, = so loves oblique, may well

Themselves= in every angle greet

But ours, = so truly parallel,

Though inf= inite, can never meet.

(Andrew Ma= rvell)

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If in the = infinite you want to stride,

Just walk = in the finite to every side.

(Johann Wo= lfgang von Goethe)

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To see the= world in a grain of sand,

And Heaven= in a wild flower,

Hold infin= ity in the palm of your hand

And eterni= ty in an hour.

(William B= lake)

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Thou sail'= st in vain - rerturn! Before thy path, INFINITY!

And thou i= n vain! - Behind me spreads INFINITY to thee!

(Friedrich= von Schiller)

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Dark - hea= ving - boundless, endless, and sublime - The image of Eternity.<= /p>
(Lord Byro= n)

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Infinity i= s a dark illimitable ocean without bound.

(John Milt= on)

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That infin= ite space and infinite worlds there be:

this load = laid down, I'm freely now dispos'd

a while to= sing of times infinity.

(Henry Mor= e)

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The boundl= ess space through which these rovers take

their rest= less roam, suggests the sister thought

Of boundle= ss time.

(Edward Yo= ung)

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Silently o= ne by one, in the infinite meadows of the heaven

Blossomed = the lovely stars, the forget-me-nots of the angels.

(Henry W. Longfellow)

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I could be= bounded in a nutshell, and count myself a king of infinite space. (William Shakespe= are in "Hamlet")

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Man's unha= ppiness, as I construe comes from his greatness; it is because there is an Infinite = in him, which with all his cunning he cannot quite bury under the Finite. (Tho= mas Carlyle)

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Above, inf= inite space, illimitable emptiness, with only the sun shining brazenly, eternally= ... What complete isolation, solitariness! (Sir Francis Chichester in "Solo Flight to Sydney")

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Empty land stretching silently into infinity. (Alan Moorehead)

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I have been accustomed to the desert, to infinite spaces, where I have not had to worry about the trivialities that stifle man. (Heinrich Bart)
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Infinity i= s the fathomless gulf, into which all things vanish. (Marcus Aurelius)

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What is th= at thing which does not give itself, and which if it were to give itself would not exist? It is the infinite. (Leonardo da Vinci)

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The eternal silence of these infinite spaces terrifies me. (Blaise Pascal)

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I am paint= ing the infinite. (Vincent van Gogh)

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A great si= lence, like a cold indestructible wall going on into the infinite. (Wassiliy Kandinsky)

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There are mysteries within mysteries, gods above gods ... that's what is called infin= ity. (Jean Cocteau)

Wer sich keinen Punkt denken kann, der ist einf= ach zu faul dazu. (Wilhelm Busch in "Eduards Traum")

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When we say anything is infinite, we signify only that we are not able to conceive the = ends and bounds of the thing named. (Th= omas Hobbes)

Bei dem Namen des Unendlichen geht dem Gemü= ;t und dem Geiste sein Licht auf, denn er ist darin nicht nur abstrakt bei sich, sondern erhebt sich zu sich selbst, zum Lichte seines Denkens, seiner Allgemeinheit, seiner Freiheit. (G.W.F. Hegel)

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I saw, as = one might see the transit of Venus, a quantitiy passing through infinity and changing its sign from plus to minus. I saw exactly how it happened and why= the tergiversation was inevitable ... but it was after dinner and I let it go! (Winston Churchill)

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Compare th= e mind of man to a musical instrument with a certain range of notes, beyond which = in both directions we have an infinitude of silence. (John Tyndall)

Alles hat seine Grenzen. Die Welt ist endlich u= nd ewig nur Gottes Ruhm. (Thomas Mann in "Der Erwählte")

some more wisdom

Alles was lediglich wahrscheinlich ist, ist wahrscheinlich falsch. (Rene Descartes)

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Discovery = consists of seeing what everybody has seen and thinking what nobody has thought. (Szent-Györgyi)

Keine Neuerung setzt sich ohne Widerstand durch= . Ja, am Ende muß man sagen, je geringer der Widerstand ist, den das Neue findet, je schneller sich das Neue durchsetzt, desto schneller eilt es selb= er zum Veralten. (Hans-Georg Gadamer)

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I know tha= t most men, including those at ease with problems of the greatest complexity, can seldom accept even the simplest and most obvious truth if it be such as wou= ld oblige them to admit the falsity of conclusions which they have delighted in explaining to colleagues, which they have proudly taught to others, and whi= ch they have woven, thread by thread,

into the f= abric of their lives. (Tolstoy)

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Good taste= is not the taste of the majority. (August Everding)

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and af= ter all, here are some coals

In der Geschichte der Wissenschafte= n ist es gewiß ein seltener Fall, wenn eine ganze wissenschaftliche Diszipl= in von grundlegender Bedeutung der schöpferischen Tat eines einzelnen zu verdanken ist. Dieser Fall ist verwirklicht in der Schöpfung Georg Cantors, der Mengenlehre, einer neuen mathematischen Disziplin, die während eines Zeitraumes von etwa 25 Jahren in einer Reihe von Abhandlungen ein und desselben Forschers in ihren Grundzügen entwickel= t, seitdem zum bleibenden Besitz der Wissenschaft geworden ist, so daß a= lle späteren Forschungen auf diesem Gebiet nur noch als ergänzende Ausführungen seiner grundlegenden Gedanken aufzufassen sind. (Ernst Zermelo)

Sie [die Mengenlehre] stellt einen = der größten und kühnsten Schritte dar, die die mathematische Entwicklung jemals getan hat, einen Schritt, der eine wissenschaftliche Revolution von nicht geringerer Tragweite bedeutet als das Kopernikanische Weltsystem in der Astronomie, als die Einsteinsche Relativitätstheorie oder die Plancksche Quantenlehre in der Physik. // Thus the conquest of act= ual infinity may be considered an expansion of our scientific horizon no less revolutionary than the Copernican system or than the theory of relativity, = or even of quantum and nuclear physics. (Adolf Fraenkel)

The simplicity and lucidity of many of Cantor's fundamental proofs constitute a particular charm of set theory and contrast favorably with more difficult a= nd technical proofs of important theorems in other branches of mathematics, including the branch which in many ways is congenial with theory of sets, namely theory of numbers. (Adolf Fraenkel)

Infinite cardinals [...] are different. Nobody before Cantor has even ventured to pr= ove this although. (Adolf Fraenkel)

The solution of the difficulties which formerly surrounded the mathematical inf= inite is probably the greatest achievement of which our age has to boast. = (Bertrand Russell)

Cantors 's Erfindung der Ordinal- u= nd Kardinalzahlen kann jedoch als ein Sprung angesehen werden, mit dem der Entwicklungsprozeß mathematischer Theorien in einem ungewöhnlich= en Maße vorangetrieben wurde. Denn was den Gegenstand der Cantor'schen Untersuchungen, das Zählen in's Unendliche und den Vergleich unendlich= er Mengen anlangt, so war er nicht bloß völlig neuartig und mathema= tisch nie zuvor behandelt worden: vielmehr hatten die Mathematiker im Laufe des 1= 9ten Jahrhunderts durch die Präzisierung und Finitarisierung der Grenzproze= sse der Analysis gerade die Elimination der Redeweisen über das Unendliche= zu ihrem Ziele gemacht und sich in einem horror infiniti von den unendlich kleinenen und unendlich großen Größen des barocken Zeitalt= ers entschieden abgewandt. (Walter Felscher)

Unter diesen Umständen war die Leistung Cantors eine ganz außerordentliche. [...] die gesamte Anschauungs- und Denkweise Cantors war hier ohne jedes Beispiel. Von der Kühnheit der Cantor'schen Begriffsschöpfungen zu sprechen, erfaßt jedoch nur den einen Teil seiner Leistungen - Mut, schließlich, hat auch der Mameluck. Was als anderer Teil wesentlich hinzukam, war der Reichtum an mathematischem Inhalt, der den Cantor'schen Begriffen innewohnte. (Walter Felscher)

So wurde schließlich durch die gigantische Zusammenarbeit von Frege, Dedekind, Cantor das Unendliche auf d= en Thron gehoben und genoß die Zeit des höchsten Triumphs. // Owing= to the gigantic simultaneous efforts of Frege, Dedekind and Cantor, the infini= te was set on a throne and revelled in its total triumph. In its dari= ng flight the infinite reached dizzying heights of success. (David Hilbert)

Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können. // No one shall expel us from the paradise Cantor created for = us. (David Hilbert)

[Cantors] Theorie der transfiniten Zahlen; diese erscheint mir als die bewundernswert= este Blüte mathematischen Geistes und überhaupt eine der eine der höchsten Leistungen = rein verstandesmäßiger menschlicher Tätigkeit // [Cantor's] theo= ry of transfinite numbers is, in my opinion, the most admirable blossom of the mathematical mind and altogether one of the outstanding achievements of pur= ely intellectual human activity. (David Hilbert)

Die Mathematik ist die Wissenschaft= des Unendlichen, ihr Ziel ist das symbolische Erfassen des Unendlichen mit menschlichen, d.h. endlichen Mitteln. (Hermann Weyl)

Für die Mengenlehre besteht zw= ischen dem Endlichen und dem Unendlichen keine grundsätzliche Schranke; ja das Unendliche erscheint ihr sogar als das Einfachere. (Hermann We= yl)

The great German mathematician Georg Cantor was the earliest person to construc= t a coherent theory of counting collections that may be infinite. (John H. Conw= ay, Richard K. Guy)

The clarification and demystification of the infinite was fully accomplished on= ly in our own century, and even this feat cannot be regarded as the final word (Eli Maor)

Since most mathematicians agree that set theory is the foundation upon which the entire structure of mathematics must be errected. (Eli Maor)

[Cantor's Diagonal argument] quite simp= ly one of the loveliest, subtlest, and most astonishing in all of mathematics. This author first saw it as a young student and decided that if this is what mathematicians could do, he wanted to be a mathematician. (James M. Henle) =

Georg Cantor's grand meta-narrative, Set Theory, created by him almost singlehand= edly in the span of about fifteen years, resembles a piece of high art more than= a scientific theory. (Yu. I. Manin)

Thus, exquisite minimalism of expressive means is used by Cantor to achieve a sub= lime goal: understanding infinity, or rather infinity of infinities. (Yu. I. Manin)

Dem Schöpfer der Mengenlehre, = Herrn Georg Cantor, in dankbarer Verehrung gewidmet. (Felix Hausdorff)=

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070111